美国高考数学题简单吗

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美国高考数学题(美国高考热门话题)

之前在深圳职业网把下面的美国数学高考发到了今天的头条，没想到得到了25万的演示和858条消息。前几天，我在《隐秘的角落》中关于张东升心脏线有问题的文章中也谈到了这个问题，结果也引起了很多讨论。现在，是时候解释这个问题了。

问题是:

小圆的半径是大圆的1/3。大圆是固定的。小圆绕大圆滚动，回到原来的位置。小圆圈自己转了多少次？

这个问题的确切答案是4圈。30万人中只有3人回答正确的原因是选项中没有出现准确的答案。提问者真的愚弄了所有人。其实这个问题也叫“硬币悖论”，即结果与人们的直观认知相违背。

对于这个问题，很多人认为答案应该是三个圆，因为大圆的周长是小圆的三倍。给出了4圈的准确答案，解释也多种多样。现在我将逐一解释一些重要的答案。

1.旋转和旋转理论

小圆转三圈，绕大圆转一圈，一共转四圈。

这个答案是最骗人的。听起来很有道理，四个圆的答案都是正确的，也可以接近地球自转公转的理论。嗯，每个人都这么说，所以我会假装自己，你知道吗？估计回答了四个圈的人有一半以上是这么想的，但实际上基本没有深入思考。

真的是这样吗？我们再来看看这个问题。它要求什么？

题目问小圆自己转了多少圈，也就是小圆绕着圆心转了多少圈。这就是旋转的概念。如果说旋转三次，答案应该是三次。革命是关于一个小圆围绕一个大圆的中心旋转，与旋转无关。事实上，即使小圆不旋转，它也可以围绕大圆的中心进行公开革命。在这个问题中，小圆正好绕大圆旋转一次，但与小圆旋转多少次无关。因为小圆旋转四次。也就是说，小圆旋转4次，公转1次。

2.中心轨迹法

小圆中心的运动轨迹也是半径为4r的圆，所以行走长度为8r。小圆每转一圈，其中心经过2r，所以转4圈。

如果一个小圆在平坦的地面上滚动，每2r圈正好是一个绕圆心的圆。

但是说到绕大圆滚，首先要证明圆心已经过了2r的长度，小圆绕圆心转了360°。也就是说，如下图所示，小圆的中心刚刚经过小圆中心所在圆周的四分之一。为什么小圆只是绕着自己的中心转？没有证明进度，直接搬到平地不严谨。

还有人说，圆上每个点走过的长度等于圆心走过的长度，就是这样。这个结论是错误的，以后再说。

3.粒子法

粒子方法类似于中心轨迹方法。也就是说，把小圆看成一个质点，这样小圆的运动轨迹就是一个半径为4r的圆，这个质点已经走完了8r的总长度，而2r的长度每绕圆心走一圈，就转四圈。首先，这个方法需要知道粒子是什么。其次，和中心轨迹法一样，之前也需要证明一个小结论。

4.相对活动法

如果小圆和大圆的圆心固定，像齿轮一样同时旋转，那么小圆顺时针旋转三次，大圆逆时针旋转一次，小圆相对于大圆旋转四次。现在大圆是固定的，小圆需要相对大圆旋转四次。这个解释还可以，但是相对活动对于大多数人(尤其是孩子)来说太抽象了。

那么，有直观的解释吗？下面我给出的方法比较纯粹，是从数学几何关系来解释的，学过角和周长的小学高年级学生应该都懂。

5.纯几何方法

这个问题有一点是肯定的，那就是小圆的周长是大圆的1/3。小圆滚过2r的长度，也就是大圆周长的1/3，到达下图所示的位置。这时，小圆绕其中心转了360+120=480。小圆相对大圆滚动6r的长度刚好滚回原点，此时转4803=1440。1440360=4圈。

6.心脏线的长度

如前所述，在第二种方法中，有人认为小圆上任意一点的长度与圆心的长度相同。是真的吗？

我们来看看类似但更简单的心脏线，也就是两个圆的半径相同时。在之前的文章《藏在隐秘角落的坏心线》中，给出了心线的极坐标方程。

此时，从极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以得出，心脏线的长度为16深圳职业网a(具体计算过程如下)，而小圆心的轨迹为半径为2a的圆，因此行走的长度为4a。也就是说，在这个滚动问题中，圆心的长度不同于圆上任意一点的长度。

如果你有从幼儿园到初中的学龄儿童想参加数学讨论组，可以留言告诉年级。

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