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欧拉公式在不同的领域有着不同的形式，但是它们都表达了一个共同的思想：在一定的条件下，某些对象的数量或大小之间存在一种固定的关系。
在立体几何中，欧拉公式是由德国数学家卡尔·欧拉在1736年发现的一个著名定理，又被称为欧拉-普吕克公式。这个定理描述了在三维空间中一个简单多面体（即没有自相交的表面）的顶点数V、面数F和棱数E之间的一种关系：V-E+F=2。
这个公式的发现可以追溯到1640年，当时法国数学家笛卡尔首先提出了这个关系的猜想，但是直到1752年，欧拉才给出了完整的证明。这个公式在数学和物理中都有着广泛的应用，不仅可以用于计算多面体的面数、棱数和顶点数，还可以用于计算立体图形的体积、表面积等。
在复数领域，欧拉公式则是由德国数学家菲利克斯·克莱因在1893年发现的一个著名定理，又被称为欧拉-克莱因公式或者欧拉公式。这个定理把复平面上的角度和模长之间的关系用一种简洁的形式表达出来：e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)。
这个公式的证明可以追溯到1736年欧拉发现的那个定理，因为欧拉在研究复平面上的多边形面积和内棱总弧长之间的关系时，提出了一个类似的公式。后来，克莱因把这个公式推广到了任意复数，并且用三角函数的级数展开式给出了证明。这个公式在数学和物理中都有着广泛的应用，不仅可以用于计算复数的模长和角度，还可以用于计算电流、振荡等问题。