最佳答案
关于极限的定义,有以下一些看法,供参考.
（1） 狭义的观点，极限是一种无限运算， 数列=级数。
（2）极限的数学本质：邻域的原像是邻域。极限的  (或者  ) 定义可以理解为一个辩论过程（你先说[樊顺厚之法]/潜无穷）。
（3）物理理解数列极限：无限打靶训练（机器学习）。
（4）几何理解数列极限：水平渐进线。
（5）极限验证的三步骤：首先，估算通项和极限值的距离(不同于解不等式，可大胆放缩); 其次，对任意的  , 找到可取的  ; 最后总结, 把分析结果按极限定义的正常顺序写出来。
（6） 三个问题：(a) 极限的存在性（敛散性），需要敛散性的判定准则和数域的完备性（柯西准则，确界原理，海涅原理等）；(b) 极限的验证；(c) 极限的计算（四则运算，连续函数的复合），特殊的不定型极限，等价替换，泰勒展开，洛必达法则。
（7）极限的定义本质上是一个定性的定义（不同于求解不等式，是定量的分析），其中虽然出现了绝对值/距离，以及不等式，但它本质上是对数列或函数的一种定性分析，其更底层的逻辑是点集拓扑学及范畴学。拓扑是经济基础，绝对值/距离和不等式是表象和工具，是上层建筑。
（8）极限是一个名词，是一个数学对象，如一个实数，复数，空间中的点，向量，甚至一个函数，总之是一个拓扑空间中的元素。而极限的存在性或收敛性则是数列或函数等分析对象的一种性质, 收敛(极限存在)是一个形容词.