很少人知道的数学奥秘

我提到了计算机，这里我想强调的是现在计算机所做的远不止于棘手的数学问题，他们允许科学家做那些上一代人以前无法想象的事情，一个强有力的新的用处是计算机建模，这导致许多科学和技术领域的巨变。

建模所做的是用计算机仿真来代替昂贵的实验，我们说过在飞机设计中，风洞是那种马和小马车走路的办法，形状的实验是由计算机完成的，这些模型再加上计算的方法对那些实际检验太复杂的理论打开了门，诸如蛋白质是如何折叠和开折的，或者石油是如何流过带孔的岩石而进入地下深处的，再一次，从许多协同作用中能得到许多益处，当知识在数学和计算机科学之间快速流动时。

我提到过传统上数学被应用于物理科学，它为这些科学提供了理论框架和数值工具，在过去数学的一些领域特别是统计学，在生命科学中很有用处，但一般来说不是处于很重要的水平，今天这正发生着变化，由于新技术和计算机，数学最后开始能处理生物器官的复杂性，特别地，数学那种独一无二的认清模型和组织能力正开始渗透到神经网络这样的基本系统，我们已经提到数学对CAT扫描和MRI的重要性。

同样，流体动力学已导致肾脏，胰脏，耳朵和其他器官的计算模型，人类心脏模型甚至导致了人造心脏装置的改进，作为Duke大学的教务长，我注意到感激的病人慷慨地支持该校的医学中心，对我们数学来说，现在还没有，但是也许将来会有，另外一个伙伴关系是数学家和生物学家正一起探寻着DNA复制的机制，已经知道DNA是以绞着打结的形式存在着，且在复制期间必须解开。

真是巧合，数学包含一个称为纽结理论的分支，纽结论与概率论和组合学一起正帮着生物学家理解DNA系列的复杂3-维力学，由于计算机的新威力，一个产生了深刻波动的领域是传染病学，对艾滋病作了巨大的努力以建立数学化模型，该模型证明了HIV并不是像其他大多数传染病的病原体那样传播，这些模型的复杂性是如此巨大以致现在最快的计算机对它们也无能为力，因而数学家面临着应用他们学科简单化的威力这一挑战。

数学对经济学最有价值的贡献之一是一般平衡模型，它试图预言自由市场行为，由于这方面的工作而使肯尼斯·阿罗赢得了诺贝尔奖，该模型的威力鼓舞着对整个经济学领域进行总体数学化。

罗索斯基讲述了有关的描述其要点的有趣故事，当阿罗获得诺贝尔奖时，他是哈佛大学的教授，而 Henry是当时哈佛的教务长，把这消息告诉了数学系中一个著名的同事，这位同事要了一份阿罗的著作，看了之后他说那些数学是很基本的，能够为哈佛的一年级大学生所完成，当然，他只部分正确，那些数学不是高深的但这不是要点，正如许多类似的突破，阿罗的成就是把两个领域结合起来。

哈佛大学

它比它的各个部分之和的力量要大，我想多说些在工业上使用的计算机建模，这方面变化的影响是如此之大，以致没有使用建模的工业很快就落后了，由于数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展，使得这方面的发展极快并富于竞争力，一个例子是微处理机芯片的设计，这是用数学特别是离散数学方法完成的，在试验回路板时常见的任务是把工具移到几百或几千个点中，且在每点上进行钻或检查，为使所需的时间最小就是所谓的推销员旅行问题，即用最小长度的道路拜访图中所有顶点，图论和计算复杂性的进展已经产生了达到此目的的简单方法，对有关牵涉到几万个点的问题，新算法快到只要最优方法的百分之一。

基础数学的另一个领域——有限域的研究已导致在计算算法上的应用，例如，电话公司的最新难题是要建立一个高效及自动系统，即使用尽可能少的电线来传递声音信号，而当该系统出现故障时，能很快重新给信号定线路，在数学上，这可以用一个图来计算，该图有顶点，这就是电话局，这些顶点由边连结，这就是连接电话局的电话线，许多数学家已经引导把深刻的基础数学用到像这样的难题。然而，假如历史是向导的话，那么未来最有效力的应用领域还有待降临，与工业的许多种伙伴关系正在快速形成，例如，离散最优化研究发展正在使产品如何生产、订货、贮藏和运送发生着彻底变革，其结果是惊人的，你可能熟悉最近鞋业中的困境，直至几年前，在这个国家所卖的鞋，几乎都是在海外生产的，主要由于存货清单使用了计算机技术，现在结算转向有利于国内工业。

类似地，纽约市使用了组合最优化技术重新制定它的卫生工作人员计划，这样一项技术就可节省2500万美元而且还提供更好服务和更方便的工作计划，美国航空公司只需更少的飞机和操作人员便可来完成相同数量的飞行，这是由于他们的计划采用了先进的组合技术，他们也能更好地对坏天气作出反应。

数学中最有趣的一个方面是，我们是多么经常听到在技术上的突破，尔后发现它在数学上的根源是多么古老，我想到了强有力的使用小波来压缩数据的技术，而小波是来自古老的调和分析，耶鲁大学的研究者发现他们实际上能压缩和贮存任何种类的图像或声音，这只需使用数学生成的看起来像小波的形状，他们发现他们能使联邦调查局的3亿个指印减至1/20，而且也能通过将电话传送指印所需的时间从20分钟减至1分钟，仅仅用光存贮盘将使纳税人节省2500万美元。

我想以数学已成为某个新伙伴的最有魅力的一个领域模型论来作结尾，模型论这个词首先在20世纪70年代引入，这是数学的一个分支，与计算机视觉，语言识别，符号处理和人工智能部分有关，它的支持者现在认为它可能包含着有关思维本身的普遍理论的胚胎，因此你能够明白数学正和一些发展很快的伙伴同行。

人工智能

从很实用的观点来看，模型学家一个典型的难题是设计一个能把语言变成书写文字的机器，如果我们每个人对每个词发出的声音都一样的话——即产生相同模型的声波那么这将是很容易的，但实际上不可能，因而这也就不容易了，当我说Ski这个词时，它不会产生与你说Ski时一样的语句，我们的语音机器必须足够自动化以来识别当我们说Ski这个词时声音中的本质部分，过去，理论家尝试模仿人脑建一个巨大复杂的计算机，但在现实中这个方法失败了，计算机对逻辑输入的反应是极好的，但像哈佛大学的研究者David Mumford现在相信人脑与计算机有着本质上的不同。

Mumford写到，我们大脑所看到的通常不是模糊的原始的感觉信号，而是充分应用记忆、期望和逻辑的灵敏的重造，对Mumford来说，我们用模型识别来思想，且模型识别远非标准逻辑，我想起了船体设计，计算机使我们走到没有它我们就远无法达到的地步，然而，它还需要美学价值和用处的完美结合，Mumford承认模型论要达到完满的理论还有长路要走，但他认为它比任何别的都更成功。

因此，我们发现数学作为生物和行为科学的伙伴，正推动着仍处于原始状态的宽广和有魅力的理论。

我尽力要说的一个要点是数学对社会来说是极其有用的，假如这是真的，人们就会想到我们作为社会就应强有力地支持导致新应用的研究，且对数学有兴趣的学生就会全力以赴，今天情况并非如此，数学界还须有效地向公众及其所选的代表表明：数学不同于科学，我们没有设计什么新产品或治愈疾病，然而我们对工程和医学的影响是重大的，但数学界长期处于显著的隔离状态。

以致公众对我们所做的一切理解得少而又少，数学家的训练不仅面窄，以致不能允许他发展成为既有广泛的兴趣又有广博的知识，而这两项都为我今天所描述的工作所必须，而且有巨大的压力要他们尽早专业化，以便在该专业申请到资助和得到使用权，我描述的协同伙伴关系展现了新的机会，在本领域和本领域外的知识趋势是很积极的，且正出现一个以前没有的内部的和外部的观点的平衡，但我们不习惯向别人作出对我们学科的解释，更不用说推销了，如果我们希望得到更多更好的支持。

那么作为团体和社会，我们必须做得更好，特别地，我们必须培养出更好的数学教师，我认真地说促使我决定成为数学家的，在我的职业上最重要的人是lottie Wilson，她是我很久以前的高中数学教师，Wilson夫人让别人理解她的课有两个本质的特征，她明白数学的崇高和神秘，她还知道得到正确答案是无法用别的来代替，我记得当我在哈佛大学教书时，小学分让我烦透了，在大学一年级微积分课程上的学生，希望在仅仅开始解决问题或得到一些合理但却不正确的答案的考试上得到小学分。

有一天我向他们说："假定最终你将成为医生，如果你的诊断只是部分正确，那么你的病人将会满意吗？"，这评论并没有得到好的回报，但是其要点是严肃的：数学是一门有确定答案的科目，且学生在「得到正确的答案」能得到真正的满意，但是我们教师必须更好地传授我们这一科目的优美和实用。

做数学实际上是有乐趣的，这至少对数学家来说是如此——是保留的秘密，而且我总是惊奇发现我们是多么经常地使用"优美的"这个词来描述我们满意的工作，我想起数学家Jacques Tits与人类学家谈论早期人类用火试验的评论：一个人类学家提到这些人是出于渴望更好的烹调的驱使，另一个认为他们追求可依靠的热源。

而Tits说他相信是由于对火着迷才使火在人类的控制之下，我相信最好的数学家是会对火着迷的，而这是好事，对社会来说是幸运的，因为他们的迷恋最终提供了我们大家都需要的好的烹调的可靠的热源。

注：本文转载自公众号“数学建模”